2- Les mesures de ce déphasage `ψ` à différentes fréquences ` f` sont regroupées dans le tableau ci- dessous :
3- Calculer la valeur de l'inductance `L` de la bobine sachant que la capacité `C=0,40 μF` puis celle de la résistance `R.`
Réponse
A partir du graphe, on peut en déduire les valeurs de `f_0,` `f_1` et `f_2`:
##
\psi(f_0)=-90° \implies f_0=2,52 \times10^3 Hz\\
\psi(f_1)=-45° \implies f_1=2,44 \times10^3 Hz\\
\psi(f_2)=-135° \implies f_1=2,60 \times10^3 Hz
##
##
f_0^2 =\dfrac1{4\pi^2LC}
\implies
##
##
L=\dfrac1{4\pi^2Cf_0^2}
\implies
##
##
L=\dfrac1{4\times\pi^2\times 0,4\times 10^{-6}\times2,52^2\times10^6}
\implies
##
##
L=10 mH
##
##
\delta_1=\dfrac{R}{2L}
\implies
##
##
R=2\delta_1L
\implies
##
##
R=2\pi(f_2-f_1)\dfrac{1}{4\pi^2Cf_0^2}
\implies
##
##
R=\dfrac{f_2-f_1}{2\pi Cf_0^2}
\implies
##
##
R=\dfrac{(2,60-2,44)\times10^3}{2\times \pi\times0,4\times 10^{-6}\times2,52^2\times10^6}
\implies
##
##
R=10 \Omega
##
4- Calculer la valeur de la résistance totale `R_T` du circuit et l'amplitude `V_e` à la résonance charge.
Réponse
##
R_T=R+r
\implies
##
##
R_T=10+10
\implies
##
##
R_T=20 \Omega
##
D'après le nouveau schéma électrique, on a :
##
LC\dfrac{d^2v_C}{dt^2}+R_TC\dfrac{dv_C}{dt}+v_C=e(t)
\implies
##
##
\dfrac{d^2v_C}{dt^2}+2\dfrac{R_T}{2L}\dfrac{dv_C}{dt}+\dfrac1{LC}v_C=e(t)
\implies
##
##
\dfrac{d^2v_C}{dt^2}+2\delta_2\dfrac{dv_C}{dt}+4\pi^2f_0^2v_C=4\pi^2f_0^2 e_0 cos(2πft )
## où ##\delta_2=\dfrac{R_T}{2L}## et ##f_0^2 =\dfrac1{4\pi^2LC}##
On introduit la notation complexe et on exprime l'amplitude complexe ##\overline{V_e}##
en fonction de l'amplitude complexe ##\overline{V_C}##
##
\dfrac{d^2\overline{v_C}}{dt^2}+2\delta_1\dfrac{d\overline{v_C}}{dt}+4\pi^2 f_0^2\overline{v_C}=4\pi^2 f_0^2\overline{v_e}
##
(voir réponse de la question 1)
Comme ##\overline{v_C}=\overline{V_C}e^{j2\pi f t}## et ##\overline{v_e}=\overline{V_e}e^{j2\pi f t}##
##
\left(-4\pi^2f^2+j4\pi\delta_1 f+4\pi^2f_0^2\right)\overline{V_C}=4\pi^2f_0^2\overline{V_e}
\implies
##
##
\overline{V_e}=\left(1-\dfrac{f^2}{f_0^2}+j\dfrac{\delta_1f}{\pi f_0^2}\right)\overline{V_C}
##
et l'amplitude complexe ##\overline{V_C}##
en fonction de l'amplitude ##e_0##
##
\dfrac{d^2\overline{v_C}}{dt^2}+2\delta_2\dfrac{d\overline{v_C}}{dt}+4\pi^2 f_0^2\overline{v_C}=4\pi^2 f_0^2\overline{e(t)}
##
Comme ##\overline{v_C}=\overline{V_C}e^{j2\pi f t}## et ##\overline{e(t)}=e_0e^{j2\pi f t}##
##
\left(-4\pi^2f^2+j4\pi\delta_2 f+4\pi^2f_0^2\right)\overline{V_C}=4\pi^2f_0^2\overline{e_0}
\implies
##
##
\overline{V_C}=\dfrac{1}{1-\dfrac{f^2}{f_0^2}+j\dfrac{\delta_2 f}{\pi f_0^2}}e_0
\implies
##
##
V_C=\dfrac{e_0}
{\sqrt{\left(1-\dfrac{f^2}{f_0^2}\right)^2+\left(\dfrac{\delta_2 f}{\pi f_0^2}\right)^2}}
##
On peut exprimer alors ##\overline{V_e}## en fonction de `e_0` :
##
\overline{V_e}=\dfrac{1-\dfrac{f^2}{f_0^2}+j\dfrac{\delta_1 f}{\pi f_0^2}}{1-\dfrac{f^2}{f_0^2}+j\dfrac{\delta_2}{\pi f_0^2}}e_0
\implies
##
##
V_e=\sqrt{\dfrac{\left(1-\dfrac{f^2}{f_0^2}\right)^2+\left(\dfrac{\delta_1 f}{\pi f_0^2}\right)^2}
{\left(1-\dfrac{f^2}{f_0^2}\right)^2+\left(\dfrac{\delta_2 f}{\pi f_0^2}\right)^2}}e_0
##
On détermine l'expression de la charge :
##
\overline{q(t)}=C\overline{v_C(t)}
\implies
##
##
\overline Q=C\overline{V_{C}}
\implies
##
##
\left|\overline Q\right|=C\left|\overline{V_{C}}\right|
\implies
##
##
Q=CV_{C}
##
La résonance charge se produit à :
##
\dfrac{dQ}{df}=0
\implies
##
##
\dfrac{dV_{C}}{df}=0
\implies
##
##
\dfrac{d}{df}\left(\dfrac{e_0}
{\sqrt{\left(1-\dfrac{f_R^2}{f_0^2}\right)^2+\left(\dfrac{\delta_2 f_R}{\pi f_0^2}\right)^2}}\right)
\implies
##
##
f_R=\sqrt{f_0^2-2\left(\dfrac{\delta_2}{2\pi}\right)^2}
\implies
##
##
f_R=\sqrt{f_0^2-2\left(\dfrac{R_T}{4\pi L}\right)^2}
\implies
##
##
f_R=\sqrt{2,52^2\times10^6-2\left(\dfrac{20}{4\times\pi\times0,01}\right)^2}
\implies
##
##
f_R=2,51 \times 10^3 Hz
##
L'amplitude `V_e` à la résonance est égale à :
##
V_e(f_R)=\sqrt{\dfrac
{\left(1-\dfrac{f_R^2}{f_0^2}\right)^2+\left(\dfrac{R f_R}{2\pi L f_0^2}\right)^2}
{\left(1-\dfrac{f_R^2}{f_0^2}\right)^2+\left(\dfrac{R_T f_R}{2\pi L f_0^2}\right)^2}}e_0
\implies
##
##
V_e(f_R)=
\sqrt{
\dfrac
{\left(1-\dfrac{2,51 ^2}{2,52 ^2}\right)^2+\left(\dfrac{0,01 \times2,51}{2\times\pi \times 0,01\times 2,52^2}\right)^2}
{\left(1-\dfrac{2,51 ^2}{2,52^2 }\right)^2+\left(\dfrac{0,02 \times2,51}{2\times\pi \times 0,01\times 2,52^2}\right)^2}
}\times2
\implies
##
##
V_e(f_R)=1,01 V
##
On aurait pu faire un calcul approché en confondant `f_R` à `f_0` puisque les amortissements sont très faibles :
##
\dfrac{\delta_1}{2\pi f_0}=\dfrac{R}{4\pi Lf_0}
\implies
##
##
\dfrac{\delta_1}{2\pi f_0}=\dfrac{10}{4\times\pi\times0,01\times2,52\times10^3}
\implies
##
##
\dfrac{\delta_1}{2\pi f_0}=0,03
\implies
##
##
\dfrac{\delta_1}{2\pi f_0}<<1
##
##
\dfrac{\delta_2}{2\pi f_0}=\dfrac{R_T}{4\pi Lf_0}
\implies
##
##
\dfrac{\delta_2}{2\pi f_0}=\dfrac{20}{4\times\pi\times0,01\times2,52\times10^3}
\implies
##
##
\dfrac{\delta_1}{2\pi f_0}=0,06
\implies
##
##
\dfrac{\delta_2}{2\pi f_0}<<1
##
##
V_e(f_R)≅\dfrac{R }{R_T}e_0
\implies
##
##
V_e(f_R)≅\dfrac{10 }{20}\times2
\implies
##
##
V_e(f_R)≅1,00 V
##
avec une erreur relative ## \left(\left|1-\dfrac{1}{1,01}\right|\right)<1\%.##
